CONTEXTUALIZAÇÃO

A expansão da área cultivável é uma estratégia comum entre os agricultores para aumentar a produção agrícola. Para isso, é essencial conhecer a área disponível para plantio, possibilitando um planejamento eficiente da quantidade de insumos necessários.

Além da disponibilidade de terra, a produtividade agrícola é influenciada por diversos fatores, como o tipo de solo, a disponibilidade de água, as condições climáticas e, especialmente, o manejo adequado de fertilizantes. A aplicação correta desses insumos é fundamental para garantir altos rendimentos das culturas, evitando desperdícios e minimizando impactos ambientais.
No entanto, há um ponto ótimo de aplicação dos fertilizantes, já que uso excessivo pode resultar na lixiviação de nutrientes, na contaminação dos lençóis freáticos e no aumento dos custos de produção. Por isso, é necessário recorrer a ferramentas matemáticas para analisar e otimizar seu uso, garantindo a máxima produtividade com o menor impacto.

Nesta atividade, você aplicará seus conhecimentos de cálculo para determinar a área disponível para cultivo e otimizar a aplicação de fertilizantes, contribuindo para uma produção agrícola mais eficiente e sustentável.

SITUAÇÃO-PROBLEMA
 

Parte 1: Cálculo da área

O agricultor, satisfeito com os bons resultados na produtividade da plantação, decidiu expandir sua área de cultivo para aumentar a produção de milho na próxima safra. Para isso, ele adquiriu um novo terreno próximo à sua propriedade, conforme mostra a Figura 1, e precisa obter sua área total para realizar o planejamento de compras de fertilizantes e insumos.

Figura 1. Mapa de localização da nova área de plantio adquirida pelo agricultor. 

Como engenheiro agronômo responsável pela área de plantio, você recebeu a missão de cálcular a área do novo terreno adquirido pelo agricultor. Durante a análise  do espaço, você percebeu que a forma do terreno pode ser modelada matematicamente. 
Ao análisar o mapa da propriedade (Figura 1), você notou que a borda do terreno segue o comportamento de uma função matemática, onde a função é dada por: 

1. Utilizando seus conhecimentos de cálculo integral, determine a área total do novo terreno, resolvendo a seguinte integral definida:
2. 
   Após obter a área, converta o resultado para hectares, considerando que 1 hectare equivale a 10.000 m², e informe ao agricultor a nova área total disponível para o plantio de milho.

Parte 2: Cálculo – ótimização do uso de fertilizantes

         
A partir de agora o agricultor deseja determinar a quantidade ideal de fertilizante para maximizar a sua produtividade. Em estudos experimentais indicaram que a produtividade agrícola P(x) (em toneladas por hectare) pode ser modelada pela seguinte função matemática: 

onde x representa a quantidade de fertilizante aplicada (kg/hectare).

Para encontrar o ponto ótimo de aplicação de fertilizante, resolva as seguintes questões:

1) Determine a quantidade de fertilizante, descrito por x, que maximiza a produtividade agrícola, utilizando as aplicações de derivada.

2) Utilize o conceito de segunda derivada para justificar a quantidade de fertilizante, encontrada no item 1, que gera um ponto de máxima produtividade.

3) Substitua o valor encontrado no item 1 na equação P(x) para calcular a produtividade máxima de milho que o agricultor pode obter utilizando a quantidade ideal de fertilizante encontrado.